Paradossi di Zenone

Introduzione

I paradossi di Zenone non sono accessibili nella loro forma originale, ma solo nella presentazione che ne hanno fatto Aristotele nella Physica (Fonti Primarie:Autori:Aristotele:Physica), dove si occupa della loro confutazione, e Simplicio, che potrebbe aver avuto accesso a manoscritti di Zenone non disponibili oggi ma ancora esistenti ai suoi tempi (Siti:Higget:Zenone), nei suoi commenti alla Physica di Aristotele).
In attesa di aggiungere la traduzione in italiano. Riporto una traduzione in inglese del brano di Aristotele e i link alle vostre traduzioni: questa è di Silvia.

Zeno reasons here incorrectly; for, he says that everything, when in a uniform state, is continually either at rest or in motion, and that a body moving in space is continually in the Now [the instant], hence the arrow in its flight is at rest. But this is false, for the reason that time is not composed of individual, indivisible Nows, as also no other quantity is so composed. There are four proofs advanced by Zeno against motion, which present many difficulties to those who try to refute them. The first is the one on the impossibility of motion, on the ground that a thing moving in space must arrive at the mid-point before it reaches the end-point. We have gone into the details ot this matter in our previous discussion. The second is the so-called Achilles; it consists in this that in a race the faster cannot overtake the slower; for, the pursuer must always first arrive at the point from which the one pursued has just departed, so that the slower is neces- sarily always a small distance ahead. But this is the same argument as that of bisection and differs from that merely in this, that the distance added is not divided quite into halves. That the slower is not overtaken follows from this argument, but it rests upon the same assumption as the bisection (for in both arguments it is stated that a thing cannot reach the end-point, since the quantity is divided in some manner. However, this second argument has the additional contention, that, in a race, even the most rapid cannot overtake the slowest and the refutation must therefore be the same. The claim that the one in the lead cannot be overtaken is false. To be sure, in the moment when he has the lead, he is not overtaken. Nevertheless he is overtaken; Zeno merely admits that the pursuer completely passes over the entire distance. These are two of his proofs; the third is the one referred to above, that the moving arrow is at rest. It is based on the assumption that time is made up of the individual Nows. If this is not admitted, then the conclusion does not follow. The fourth is in regard to equal bodies which move on a track parallel to other bodies of equal size but moving in opposite directions, namely the first moving thither from the end of the track, the second moving hither from the middle of it with the same speed. From this he thought that he must conclude that the half time must be equal to its double. The fallacy lies in the claim that when a body moves parallel to one in motion, with the same speed as it does move, passes one that is at rest, the time of passing is the same in both cases. This is false. FontiSecondarie:Articoli:caj1

Nella discussione dei paradossi si parte normalmente da una riformulazione degli stessi. Una riformulazione costituisce gia' una interpretazione e quindi e' necessario chiarire esplicitamente a quale formulazione ci si riferisce. Un primo tema di discussione interessante potrebbe consistere nel confronto tra le diverse formulazioni e nel legame con la formulazione di Aristotele.

Ecco la riformulazione di Burnet FontiSecondarie:Articoli:caj1

  1. "DICHOTOMY": You cannot traverse an infinite number of points in a finite time. You must traverse the halt of any given distance before you traverse the whole, and the half of that again before you can traverse the whole, and the half of that again before you can traverse it. This goes on ad infinitum, so that (if space is made up of points) there are an infinite number in any given space, and it cannot be traversed in a finite time.
  2. "ACHILLES": The second argument is the famous puzzle of Achilles and the tortoise. Achilles must first reach the place from which the tortoise started. By that time the tortoise will have got on a little way. Achilles must then traverse that, and still the tortoise will be ahead. He is always nearer, but he never makes up to it.
  3. "ARROW": The third argument against the possibility of motion through a space made up of points is that, on this hypothesis, an arrow in any given moment of its flight must be at rest in some particular point.
  4. "STADE": Suppose three parallel rows of points in juxtaposition, as in Fig. 1.

Fig. 1
A . . . . . .
B . . . . . .
C . . . . . .
One of these (B) is immovable, while A and C move in opposite directions with equal velocity so as to come into the position represented in Fig. 2.
Fig. 2
<- A . . . . . .
B . . . . . .
C . . . . . .->
The movement of C relatively to A will be double its movement relatively to B, or, in other words, any given point in C has passed twice as many points in A as it has in B. It cannot, therefore, be the case that an instant of time corresponds to the passage from one point to another.

La riflessioni su questi paradossi si intrecciano con le riflessioni sui concetti di spazio, tempo e movimento e, per la matematica, con la riflessione sui concetti di continuita', di infinito e di infinitesimo.

Discussione

Premessa
Il paradosso della "dicotomia" viene presentato da Aristotile nella forma seguente:
Zenone asserisce la non esistenza del moto sulla base del ragionamento che ciò deve arrivare a metà del tragitto prima di arrivare al termine. La libera parafrasi di Burnet è la seguente: "Non è possibile attraversare un numero infinito di punti in un tempo finito. Bisogna percorrere la metà di una data distanza prima di percorrerla interamente, e ancora la metà di questa nuova prima di percorrerla interamente e ancora la metà di quest'ultima prima di percorrerla interamente. E così via all'infinito, così che, (se lo spazio è fatto di punti), in ogni spazio ce ne sono un numero infinito, e quindi uno spazio siffatto non può essere percorso in un tempo finito"

Domanda 1

Commentare la seguente confutazione del paradosso della dicotomia attribuita a Diogene il Cinico: "Diogene si alzò in silenzio mettendosi a camminare e dicendo che è esperienza ben nota a tutti che le cose in effetti si muovono".
Risposte alla prima domanda

Domanda 2

Commentare la seguente confutazione del paradosso della dicotomia dovuta ad Aristotele: "se dividiamo lo spazio percorso, dobbiamo dividere anche il tempo impiegato 1/2 del tempo per la metà finale del percorso, 1/4 del tempo per il quarto precedente, 1/8 del tempo per l'ottavo che ancora precede, eccetera. Così ogni frazione di distanza corrisponde all'esatta frazione di tempo necessaria per percorrerla, e quindi la distanza può essere percorsa in un tempo finito."

Risposte alla seconda domanda

Domanda 3

Commentare la seguente confutazione del paradosso della dicotomia dovuta anch'essa ad Aristotele: "Si consideri una suddivisione di un segmento in due parti. Da un lato, c'è un segmento indiviso, dall'altro un segmento con un punto scelto come bordo delle due parti. Aristotele dice che il segmento intero e il segmento suddiviso sono due cose distinte e che la seconda è derivabile dalla prima solo "in potenza". Aristotele assume che il tempo sia assimilabile a un segmento geometrico e considera il tmpo necessario a completare il movimento. Dobbiamo distinguere i due casi. L'intervallo temporale indiviso, dall'istante iniziale a quello finale, e l'intervallo suddiviso nei successivi dimezzamenti di Zenone. Secondo Aristotele l'intervallo suddiviso, oltre che geometricamente è anche fisicamente distinto dall'intervallo non suddiviso, nel senso nel senso che alla fine di ogni intervallo suddiviso il l'oggetto in moto deve fare qualcosa per distinguere l'intervallo suddiviso dall'intervallo non suddiviso: deve fermarsi, rendendo il moto discontinuo. La risposta di Aristotele è che durante un moto è possibile percorrere una serie potenzialmente infinita di suddivisioni di un intervallo, ma non è possibile percorrere una serie attualmente infinita di suddivisioni. In altre parole, Zenone identifica una impossibilità reale, che però non è quella di un movimento continuo.

Risposte alla terza domanda

Domanda 4.

Si sente spesso dire che la soluzione del paradosso sta semplicemente nella teoria matematica delle serie. Secondo questa teoria si dimostra che la serie dei reciproci delle potenze di 2 converge a 1. Pensate che questa sia la soluzione completa del problema? Se no, perche' la "soluzione matematica" non e' ancora completa?

Risposte alla quarta domanda

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