Percorso didattico sulle tavole trigonometriche

Il percorso didattico proposto non richiede conoscenze matematiche particolarmente avanzate: esso, infatti, spiega il metodo utilizzato per ottenere i valori di funzioni trigonometriche utilizzando le tavole. Potrebbe quindi essere destinato a studenti frequentanti le scuole medie inferiori o superiori, purché a conoscenza delle nozioni di base della trigonometria.

INTRODUZIONE

Supponiamo di avere una tavola compilata con i valori trigonometrici degli angoli compresi tra 0 e 45 gradi scanditi di 10 primi in 10 primi.

Domanda: Perché la conoscenza dei valori corrispondenti a questi angoli ci dà informazioni su tutta la circonferenza?

Risposta: Basta utilizzare le proprietà delle funzioni seno, coseno e tangente:

  • Per gli angoli $\alpha$ compresi tra 45° e 90° utilizziamo il fatto che 90-$\alpha$ è compreso tra 0° e 45°, e quindi ne conosciamo il valore grazie alla nostra tavola:
    • $cos( 90° - \alpha ) = sin( \alpha )$
    • $sin( 90° - \alpha ) = cos( \alpha )$
    • $tan( 90° - \alpha ) = \frac{1}{tg( \alpha )}$
  • Per gli angoli $\alpha$ compresi tra 90° e 180° utilizziamo il fatto che 180-$\alpha$ è compreso tra 0° e 90° ed è quindi un angolo della tavola o un angolo che ricade nel primo caso:
    • $cos( 180° - \alpha ) = -cos( \alpha )$
    • $sin( 180° - \alpha ) = sin( \alpha )$
    • $tan( 180° - \alpha ) = -tan( \alpha )$
  • Per gli angoli $\alpha$ compresi tra 180° e 270° ragioniamo come nei casi precedenti utilizzando l'angolo di 270°:
    • $cos( 270° - \alpha ) = -sin( \alpha )$
    • $sin( 270° - \alpha ) = -cos( \alpha )$
    • $tan( 270° - \alpha ) = \frac{1}{tg( \alpha )}$
  • Per l'ultimo quadrante, ovvero $\alpha$ tra 270° e 360°, le relazioni sono:
    • $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$
    • $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$
    • $tan(-\alpha) = -tan(\alpha)$

Osservazione: In questo elenco, le relazioni della funzione tangente sono stati inseriti per abuso di perizia; erano, infatti, facilmente ricavabili ricordando che $tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$.

UTILIZZO DELLE TAVOLE

Dato l'angolo, calcolare il valore della funzione trigonometrica desiderata

Dall'angolo al suo seno

Supponiamo di voler calcolare il seno di un angolo. Se l'angolo dato compare già nella tavola, chiaramente abbiamo concluso; ipotizziamo quindi che non ci sia. Prendiamo, ad esempio, il seno di 15° 16'. Sulla tavola abbiamo soltanto i valori di 15° 10' e 15° 20' (compaiono, infatti, solo i valori ogni 10 primi). Come possiamo approssimare al meglio il valore da noi cercato?

Introduciamo il concetto di differenza tabulare, che sarà utile nel momento dei nostri calcoli.

Definizione La differenza tabulare è lo scarto tra due valori consecutivi sulla tavola.

Quindi, ad esempio, la differenza tabulare tra sin(25° 10') e sin(25° 20') vale sin(25° 20') - sin(25° 10') = 0.0026.

Osservazione 1 I valori della tavola sono ovviamente approssimati: salvo rarissimi casi, infatti, i valori di seno e coseno sono numeri irrazionali (ovvero, essi presentano infinite cifre decimali aperiodiche). Il risultato che otterremo con il nostro procedimento sarà dunque approssimato, in quanto:

  • da due valori contigui approssimati non potremo mai ottenere un valore esatto per un qualunque angolo compreso
  • l'idea alla base del metodo è che, qualora sia sottoposto a piccole variazioni, il valore del seno vari non solo in modo continuo, ma addirittura lineare. Le funzione trigonometriche non sono lineari, ma possiamo approssimarle come tali a patto che la variazione dell'angolo sia molto piccola. In questo caso, appunto, ci accontentiamo di una variazione minore o uguale di 10'.

Osservazione 2 L'ultima cosa che ci resta da precisare prima di entrare nel metodo vero e proprio, riguarda la monotonia delle funzioni trigonometriche. Ricordando che lavoreremo soltanto con angoli compresi tra 0° e 45°, abbiamo che nella regione che comprende questi valori il seno è una funzione crescente, ossia $\alpha > \beta \Rightarrow sin(\alpha) > sin(\beta)$.

Algoritmo. Arriviamo dunque al cuore del procedimento. Ci eravamo prefissi di calcolare il seno di 15° 16', avendo a disposizione i valori sin(15° 10') e sin(15° 20'), ed ora abbiamo tutte le carte per farlo. L'algoritmo opera per proporzioni: se un aumento di 10' comporta una differenza tabulare d, un aumento di 6' (quello da 10' a 16') comporterà una differenza proporzionale a d (in questo passaggio si capisce la necessità della Osservazione 1). Nel nostro caso, d = $sin(15° 20') - sin(15° 10') = 0.0028$. La nostra proporzione $10 : 0.0028 = 6 : x$ dà come risultato $x = 0.0017$. In virtù della Osservazione 2, tale risultato va aggiunto al valore di 15° 10', poiché il seno sta crescendo. Abbiamo dunque concluso: la tavola ci dice che $sin(15° 10') = 0.2616$, pertanto $sin(15° 16') = sin(15° 10') + 0.0017 = 0.2633$. Decisamente soddisfacente, considerando che chiedendo ad un computer di calcolare il valore esatto di sin(15° 16'), questo ci restituisce 0.263311…!

Dall'angolo al suo coseno

Il discorso per il coseno è sostanzialmente lo stesso. Bisogna soltanto modificare la Osservazione 2: nel momento in cui gli angoli variano tra 0° e 45°, infatti, il coseno è decrescente. Pertanto, nella parte conclusiva dell'algoritmo il valore ottenuto dalla proporzione andrà sottratto e non aggiunto al valore noto più vicino.

Data la funzione, calcolare l'angolo

Purtroppo, l'algoritmo non è "invertibile" e non tratteremo nel dettaglio il procedimento per il problema inverso. Possiamo però dare un'idea di come procedere. Abbiamo, di nuovo, un caso banale, ovvero quello in cui vogliamo trovare l'angolo da un valore noto della funzione (come, ad esempio, $1, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt3}{2}$…). In questo caso, la risoluzione del problema è estremamente semplice. In caso contrario, sfruttando di nuovo la continuità delle funzioni trigonometriche e la possibilità di approssimarle linearmente in corrispondenza di piccole variazioni dell'angolo, possiamo interpolare il risultato: la tabella ci indicherà due valori che ci serviranno a stabilire in quale range si trova l'angolo che cerchiamo. Poi procediamo "a mano", utilizzando, ad esempio, il metodo di bisezione sul nostro range: se il valore che cerchiamo risulta nella prima metà, continueremo lì l'indagine, altrimenti nella seconda, e così via. Si noti che, dato che stiamo approssimando i valori delle funzioni (nel nostro caso alla quarta cifra decimale) e che ci muoviamo ogni dieci primi, dovremmo trovare la nostra risposta in pochi passaggi.

Roberto Mastropietro
Silvia Andreozzi

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