Sarah Chamas
(1)
\begin{align} (1+x)^\alpha=\sum {\alpha\choose k}x^j \end{align}
(2)
\begin{align} \mathcal L:\mathcal M(2,2)\to \mathcal M(2,2)\qquad M\mapsto \mathcal L(M)=M^t \end{align}
(3)
\begin{align} \mathcal B= \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&0 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&0 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 1&0 \end{array} \right)\quad \left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 1&1 \end{array} \right) \end{align}
(4)
\begin{align} \mathcal C= \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0 \end{array} \right)\quad \left( \begin{array}{cc} -1&0\\ 0&1 \end{array} \right) \end{align}

Per costruire la matrice associata ad una applicazione lineare $\mathcal L$ rispetto ad una base $\mathcal B$ dello spazio di partenza e ad una base $\mathcal C$ dello spazio di arrivo bisogna costruirla per colonne:
1. per costruire la prima colonna bisogna prendere il primo elemento della base $\mathcal B$, trasformarlo con l'applicazione $\mathcal L$ e mettere nella prima colonna i coefficienti dello sviluppo del trasformato rispetto alla base $\mathcal C$
2. per costruire la seconda colonna bisogna prendere il secondo elemento della base $\mathcal B$, trasformarlo con l'applicazione $\mathcal L$ e mettere nella seconda colonna i coefficienti dello sviluppo del trasformato rispetto alla base $\mathcal C$

Sia $L:R^3\to R^2$ l'applicazione definita ponendo $L(x,y,z)=(2x-z,y+2z)$. Verificare che L \‘e un’applicazione lineare e determinare la matrice associata ad L quando:
i) prendo come base dello spazio di partenza e di quello di arrivo la base standard
ii) prendendo come base dello spazio di partenza v1=(1,0,0), v2=(1,1,0), v3=(1,1,1) e come base dello spazio d'arrivo w1=(1,1) w2=(1,-1)

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