Silvia Andreozzi

Percorso didattico: la risoluzione delle equazioni di terzo grado

Questo percorso può essere proposto a tutti gli studenti che abbiano familiarità con il concetto di equazione, meglio se capaci di risolvere le equazioni di secondo grado e che abbiano qualche conoscenza dei numeri complessi (alcuni passaggi risulterebbero, infatti, più chiari).

Vogliamo risolvere, tramite delle formule algebriche, un'equazione del tipo $x^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Iniziamo risolvendo il caso particolare $x^{3}+px+q=0$ con $p$ e $q$ numeri reali; nella risoluzione del problema generale ci ricondurremo, infatti, a questo caso.

Cerchiamo due numeri $u$ e $v$ tali che $u+v=x$ e $-3uv=p$.

A questo punto, sostituiamo nell'equazione e otteniamo $(u+v)^{3}-3uv(u+v)+q=0$
Svolgendo i conti, risulterà $u^{3}+v^{3}=-q$

Dobbiamo quindi risolvere il sistema:
$u^{3}+v^{3}=-q$
$uv=- \frac{p}{3}$

elevando al cubo membro a membro la seconda equazione otteniamo che $u^{3}v^{3}=-\frac{p^{3}}{27}$

ricordando che $(x-a)(x-b)=x^{2}-(a+b)x+ab$ abbiamo che $u^{3}$ e $v^{3}$ sono soluzioni di $z^{2}+qz-\frac{p^{3}}{27}$.

Le soluzioni di quest'equazione sono note:
$z_{1, 2}= - \frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

Se adesso le due soluzioni sono reali (ed è il solo caso che tratteremo nel dettaglio) allora otteniamo

$u^{3}=z_{1}$ e $v^{3}=z_{2}$

da cui troviamo che una soluzione (reale) dell'equazione è

$x_{1}=\sqrt[3]{z_{1}}+\sqrt[3]{z_{2}}$

Per trovare le altre due, basta dividere il polinomio per $x-x_{1}$. Resterà da scomporre un polinomio di secondo grado, cosa che sappiamo fare nel caso in cui anche le altre due soluzioni siano reali. Se il polinomio di secondo grado non è scomponibile, vuol dire che le altre soluzioni sono complesse coniugate.

NOTA: Nel caso in cui $z_{1, 2}$ siano complesse il procedimento da seguire è simile, ma dovremo calcolare le tre radici cubiche complesse e sommarle, in questo modo otterremo tutte e tre le radici.

Il caso generale è quello in cui la nostra equazione è della forma $x^{3}+bx^{2}+cx+d$, ma ponendo $y=x-\frac{b}{3}$ e svolgendo le semplificazione otteniamo l'equazione $y^{3}+(c-\frac{1}{3}b^{2})y+(\frac{2}{27}b^{3}-\frac{1}{3}bc+d)=0$ che è della forma che sappiamo risolvere.

Lasciamo adesso un paio di esercizi con cui fare pratica.

Anche se in alcuni casi la soluzione è evidente anche senza ricorrere alla formula generale, si consiglia di utilizzarla per impratichirsi.

Es. 1 Trovare le radici reali di $x^{3}-1$
Es. 2 Trovare le radici reali di $x^{3}-3x^{2}-3x+5-4\sqrt{2}$
Es. 3 Trovare le radici reali di $x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}$
Es. 4 Trovare le radici reali di $x^{3}+x-3$

Silvia Andreozzi
Roberto Mastropietro

Risposte agli esempi di possibili domande di esame

  • Illustrare e discutere il procedimento di esaustione, anche con riferimento ad una sua applicazione tra quelle viste in classe (proporzionalità tra cerchi e quadrati sui rispettivi raggi, area del cerchio; area del segmento di parabola; volume del segmento di paraboloide di rotazione, ecc.)

Il metodo di esaustione è un procedimento messo a punto da Eudosso di Cnido, geometra e astronomo greco vissuto tra il V e il IV sec. a. C.. Il metodo è stato spesso considerato come il primo passo verso il calcolo differenziale, ma in realtà venne escogitato proprio per evitare di ricorrere all’infinito (ovvero, i procedimenti di passaggio al limite). Esso si applica in tutti i casi in cui si voglia dimostrare l’equivalenza tra le aree o i volumi di due figure piane o solide che non siano poligoni o prismi (in quest’ultimo caso, infatti, basta usare il procedimento di equiscomposizione, ovvero scomporre le figure in un numero finito di parti finite a due a due uguali).
Descriviamo ora la linea generale del metodo. Supponiamo di voler mostrare l’equivalenza di estensione tra le due figure A e B. Per assurdo, mostriamo che entrambe le ipotesi A<B e A>B conducono ad una contraddizione; ne seguirà, necessariamente, che A=B.
Consideriamo la prima ipotesi e supponiamo di costruire una successione T(n) di figure che approssimino sempre più accuratamente per difetto sia A che B. Dal momento che, per ipotesi, A è minore di B, ci sarà un elemento della successione T(n) che è maggiore di A e minore ancora di B; chiamiamo questo elemento T(k). Il fatto che questo elemento esista è un assurdo, perché la successione era minore non solo di B ma anche di A. Allo stesso modo, si mostra l’assurdità della disuguaglianza inversa e si conclude l’uguaglianza delle due grandezze.
Vediamo nel dettaglio una delle applicazioni del metodo di esaustione. Archimede dimostra, nell’opera “Misura del cerchio” un enunciato analogo alla seguente proposizione: «Ogni cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo avente uno dei cateti uguale al raggio e l’altro cateto uguale alla circonferenza del cerchio».
Siano C il cerchio ed E il triangolo. Per assurdo, consideriamo il caso C>E. Inscriviamo nel cerchio una successione di poligoni regolari partendo dal quadrato e raddoppiando il numero di lati ad ogni iterazione. Sia P(n) questa successione.
Da un certo indice k in poi, dal momento che la successione sta approssimando il cerchio sempre meglio e C>E, si avrà che C–P(k)<C–E, e quindi P(k)>E. Tuttavia, poiché per ogni i il poligono P(i) equivale ad un triangolo avente per base il perimetro del poligono (minore, dunque, della base di E) e per altezza l’apotema (che è minore del raggio del cerchio e quindi dell’altezza del triangolo E), tutti i P(i) sono minori di E, ed arriviamo all’assurdo.
Usando poligoni circoscritti invece di poligoni inscritti si giunge alla contraddittorietà dell’ipotesi C<E e si dimostra quindi C=E.

  • Illustrare e discutere il metodo euristico impiegato da Archimede per il calcolo delle aree e dei volumi, anche con riferimento ad una sua applicazione tra quelle viste in classe (area del segmento di parabola, volume della sfera, ecc.)

Nella lettera indirizzata a Eratostene che introduce l’opera “Sui teoremi meccanici”, Archimede parla di un particolare metodo meccanico (ovvero, relativo alla meccanica dei corpi) di cui egli si serve per intuire dei risultati geometrici. Questo metodo, dice lo stesso Archimede, non porta ad una dimostrazione rigorosa di una data proposizione; esso può, tuttavia, far prevedere il risultato e quindi facilitare la prova della stessa. Per questo motivo, il metodo viene considerato da Archimede tanto importante quanto la dimostrazione in sé. Nelle sue linee generali, questo metodo si applica nei casi in cui si voglia trovare l’area (o il volume) di una figura data. L’idea è quella di trovare una seconda figura (di cui conosciamo l’estensione) tale che le sue sezioni (rette o piani) siano confrontabili con le sezioni della prima. Le sezioni corrispondenti vengono poi “pesate” tramite una leva, ottenendo così una proporzione tra di esse.
Il primo teorema in cui lo scienziato di Siracusa utilizza il metodo afferma che l’area del segmento di parabola di vertice B ed estremi A e C (dati dall’intersezione della parabola con una retta) vale 4/3 l’area del triangolo ABC. Vediamo i passaggi essenziali della dimostrazione che sfruttano l’applicazione del metodo.
Come seconda figura, Archimede considera un triangolo ACF che abbia come base il segmento AC, il secondo lato perpendicolare alla base in A e l’altro tangente alla parabola in C. A questo punto, si prende una retta parallela all’asse della parabola e si considera il segmento OM delimitato dal triangolo ACF (il segmento sarà anche, in parte, contenuto nel segmento di parabola ABC - chiamiamo quest’ultimo OP). Si costruisce dunque una leva che pesi OP e OM; si trova che OP, trasportato alla fine della leva, fa equilibrio a OM lasciato dov’è. Questa costruzione si può ripetere per qualunque retta nel triangolo ACF (che sarà una retta anche nel segmento di parabola ABC). A questo punto, il passaggio ulteriore è concepire queste due figure come ricoperte da infinite linee del tipo di OP e OM. Siano S le linee OP trasportate alla fine della leva e T il triangolo ACF costituito dalle linee OM. Sfruttando un risultato sul baricentro del triangolo T e applicando nuovamente la legge di equilibrio della leva, si ottiene che T è il triplo di S, ma T è il quadruplo del triangolo ABC (per costruzione) e quindi si perviene al risultato.

  • Confronto tra matematica ellenica, ellenistica, indiana e araba.

Lo sviluppo degli studi matematici da parte dei Greci può essere diviso, a grandi linee, in due periodi: quello ellenico e quello ellenistico.
Il periodo ellenico va dal 600 al 300 a.C. circa e conta studiosi quali Talete, Pitagora, Democrito, Teeteto, Archita ed Eudosso (l’opera di quest’ultimo, in realtà, è fondamentale per il passaggio al periodo ellenistico). I centri matematici di questo periodo si collocano in Grecia e nelle Colonie. Il grande merito dei matematici ellenici fu quello di sviluppare l’interesse per la matematica in sé, avulsa, cioè, dagli interessi pratici (che costituivano invece le uniche motivazioni di studio per gli Egiziani e i Babilonesi). Essi introdussero inoltre il concetto di dimostrazione deduttiva e quello di astrazione. Per un elenco esaustivo dei risultati ottenuti, si attinga alla sezione Biografie.
Lo sviluppo matematico di questo periodo sembra segnato in maniera indelebile da alcune aporie (letteralmente, “incertezze”), quali l’incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato e i paradossi di Zenone; esse mettevano in luce l’inadeguatezza della matematica dell’epoca e premevano per una soluzione. Le problematiche sollevate, tuttavia, erano di carattere più filosofico che scientifico: le aporie infatti scompaiono nel momento in cui esse vengano considerate all’interno di un modello matematico adeguato. Il primo ad occuparsene fu proprio Eudosso, il quale rinunciò allo studio della realtà a favore di quello del modello e dell’applicabilità di quest’ultimo, aprendo la strada al metodo scientifico e alla scienza esatta.
Seguendo la scia inaugurata da Eudosso, il periodo ellenistico (300 a.C. - 100 d.C circa) vide un progresso scientifico che non ebbe uguali fino a Rinascimento inoltrato. A tale sviluppo contribuirono Euclide e Archimede, entrambi considerati tra i più grandi matematici di tutti i tempi, ma anche Apollonio, Diofanto ed Erone.
Il centro di ricerca principale era Alessandria d’Egitto. Vennero dati importanti contributi anche a branche della scienza quali la statica, l’idrostatica, l’ottica, la scenografia (prospettiva), la geografia matematica e la meccanica.
La differenza sostanziale tra matematica ellenica e matematica ellenistica risiede nella rinuncia a spiegare la natura in sé e nell’occuparsi, invece, di un modello della realtà. I matematici ellenistici, inoltre, introdussero l’idea di fissare assiomi, che sono le relazioni elementari, costitutive ed evidenti del modello, e si proposero di far discendere da essi, tramite dimostrazioni logiche, le proprietà dello stesso. Essi si dedicarono poi alla progettazione di apparati e di misurazioni non direttamente accessibili e che seguivano dal modello nel momento in cui esso descriveva qualcosa a cui non corrispondeva una realtà.
Vogliamo adesso confrontare la matematica greca con quella degli Hindu e degli Arabi che ne furono, in un certo senso, eredi e custodi per circa 1000 anni. Cogliamo l’occasione per approfondire brevemente gli studi di tali civiltà.
Nonostante gli Hindu produssero della matematica primitiva dall’800 a.C. al 200 d.C., il periodo di maggior sviluppo di tale disciplina si colloca tra il 200 e il 1200 d.C., in seguito al contatto che la civiltà indiana ebbe con quella greca. I matematici più importanti di questi secoli sono Āryabhata (V sec.), Brahmagupta (VII sec.), Mahāvīra (IX sec.) e Bhāskara (XII sec.).
Gli Hindu avevano un dono speciale per l’aritmetica. Essi consideravano lo zero come un vero e proprio numero (al contrario degli Alessandrini che lo usavano esclusivamente per indicare l’assenza del numero) e introdussero (seppure non senza riserve) i numeri negativi. Inoltre, intorno al 600 essi iniziarono ad utilizzare la notazione posizionale. Un’altra grande differenza con il mondo greco era quella di operare senza scrupoli sui numeri irrazionali mediante dei procedimenti corretti. Per loro non correva nessuna differenza tra numeri irrazionali e numeri interi; non colsero, infatti, le difficoltà logico-filosofiche che il concetto di numero irrazionale portava: erano molto più interessati al mero calcolo.
L’algebra indiana era quasi-simbolica, ma non conosceva né motivazioni né dimostrazioni. Sapevano risolvere le equazioni di secondo grado tramite il metodo del completamento del quadrato e accettavano tutte le soluzioni ad eccezione di quelle complesse. Tuttavia, l’algebra non veniva studiata se non per le sue applicazioni pratiche, che erano soprattutto quelle commerciali e astronomiche.
La geometria non fece passi avanti nella civiltà Hindu, ma la trigonometria venne presa sufficientemente in considerazione (in quanto utile per risolvere problemi astronomici).
La matematica indiana quindi, al contrario di quella greca, non ha nessun carattere di deduzione rigorosamente scientifica: gli Hindu erano molto più interessanti alle attività aritmetiche e computistiche piuttosto che ai procedimenti deduttivi. Le poche buone idee che portarono vennero introdotte senza consapevolezza della loro importanza.
Per quanto riguarda gli Arabi, essi fecero un passo indietro rispetto agli indiani nell’aritmetica: respinsero, infatti, i numeri negativi. Tuttavia, continuarono ad operare con i numeri irrazionali.
In algebra, essi non usavano simbolismo, e questo costituì un altro passo indietro rispetto alla matematica Hindu. Essi ebbero però il merito di comprendere il parallelismo tra la geometria e l’algebra; risolvevano, infatti, le equazioni di secondo grado tramite una vera e propria costruzione geometrica dei passaggi del completamento del quadrato e trovavano le soluzioni alle equazioni di terzo grado tramite le coniche. Le geometria di per sé, tuttavia, non compì nessun passo avanti, mentre la trigonometria venne sistematizzata in un’opera indipendente dall’astronomia, che rimase comunque il principale campo di applicazione della matematica. Degno di nota è, infine, lo sviluppo scientifico che ebbe l’ottica: Alhazen, fisico e matematico arabo, enunciò infatti la legge completa della riflessione.
In conclusione, mentre i Greci si erano interessati a comprendere il disegno matematico della natura o del suo modello attraverso un corpo di conoscenze organizzato deduttivamente, per gli Arabi e gli Hindu la matematica era un mezzo per dominare la natura stessa e risolvere problemi pratici. Per questo motivo, la geometria (che rispecchiava maggiormente la prima linea di pensiero) rimase uguale a sé stessa, mentre vennero sviluppate le tecniche di calcolo aritmetico e algebrico. Iniziarono così a differenziarsi due diversi “indirizzi” matematici che avrebbero avuto, entrambi, grande importanza nei secoli successivi.

  • Carattere degli Elementi di Euclide e loro significato nel contesto della matematica ellenistica.

Gli Elementi vengono scritti da Euclide intorno al 300 a.C. Sebbene i contenuti siano, per la maggior parte, una riorganizzazione delle scoperte matematiche dell’epoca ellenica, l’opera in sé viene considerata come il testo esemplare della matematica ellenistica.
Gli Elementi sono organizzati in XIII libri che espongono i risultati del periodo precedente riguardanti la geometria piana e la teoria delle proporzioni (esposte sia indipendentemente che dipendentemente l’una dall’altra), l’algebra geometrica, la teoria degli irrazionali e la geometria solida. Tuttavia, la scelta particolare degli assiomi, la disposizione dei teoremi e alcune dimostrazioni (pulite e rigorose) sono proprie dell’autore. Euclide decide di posizionare tutte le definizioni, assiomi e postulati all’inizio degli Elementi, e di far seguire da queste poche premesse tutti i teoremi presenti, i quali sono concatenati tra di loro logicamente e ordinati dal più semplice al più complicato. Alcuni aspetti di tale organizzazione riflettono perfettamente quelle che erano le prerogative dei matematici dell’epoca alessandrina; per una trattazione più approfondita si rimanda alla risposta precedente. Inoltre, Euclide introduce la teoria delle costruzioni con riga e compasso e si occupa solo di ciò che è costruibile tramite questi mezzi. Maneggia anche in maniera molto intelligente il V postulato (il famoso postulato sulle rette parallele), enunciandolo senza riferirsi all’infinito e non usandolo nelle dimostrazioni a meno che non risultasse strettamente necessario.
Tuttavia, vi sono alcune critiche che possono essergli mosse. Una scelta discutibile è quella, ad esempio, riguardante le definizioni di apertura. Euclide, infatti, esprime queste ultime in termini di concetti che non vengono definiti; la motivazione logica della definizione viene dunque a cadere. I matematici moderni sanno infatti dell’esistenza di concetti “primitivi”, ovvero la cui comprensione debba basarsi esclusivamente sull’intuizione. Un altro punto debole è il fatto che Euclide usi il procedimento di sovrapposizione in alcune delle sue dimostrazioni. Questo procedimento, tuttavia, suppone che il moto di un corpo sia ben definito e che traslare rigidamente un oggetto non modifichi le proprietà dello stesso. A tale assunzione corrisponde un’attribuzione allo spazio fisico di proprietà ben precise, nonché molto forti.
Nonostante questi punti deboli, gli Elementi rappresentarono per molti popoli e per molti secoli l’unico (o quasi) testo di matematica di riferimento, nonché essi vennero tenuti in grande considerazione anche dai contemporanei di Euclide e soppiantarono tutti i testi di geometria precedenti.

Testi relativi ai paradossi di Zenone di Elea

  • Argomenti contro la molteplicità

Il contributo di Zenone alla storia della filosofia non consiste nell'aver formulato una propria dottrina dei principi, ma nell'avere difeso la dottrina formulata da Parmenide. È tuttavia interessante il modo in cui Zenone difese questa dottrina, grazie al quale egli fu considerato da Platone e da Aristotele l'inventore della dialettica, cioè del procedimento logico con cui si mostra la validità di una tesi attraverso la confutazione della tesi ad essa opposta. Zenone infatti difese l'unità e l'immobilità dell'essere, sostenute da Parmenide, confutando, cioè facendo risultare impossibili, l'esistenza della molteplicità e del movimento. Gli argomenti, anzi l'argomento fondamentale contro la molteplicità, è riportato proprio da Platone nel dialogo intitolato Parmenide, dove egli riferisce di un incontro, sulla cui storicità si nutrono molti dubbi, tra Parmenide, Zenone e Socrate. Nel corso di tale incontro Zenone avrebbe letto a Socrate l'argomento in questione e gli avrebbe anche spiegato che esso aveva la funzione di difendere la dottrina di Parmenide.

Socrate dunque, poi ch'ebbe ascoltato, chiese gli fosse riletta la prima ipotesi del primo discorso; gli fu riletta, e domandò: - E con ciò che cosa vuoi dire, Zenone? Vuoi dire che se le cose che sono sono molte, esse debbono essere simili tutte e anche tutte dissimili e che questo è impossibile: non si dà infatti che ciò che è dissimile sia simile né ciò che è simile sia dissimile? Non vuoi dire questo? - Proprio questo, replicò Zenone1. - E allora se è impossibile che ciò che è dissimile sia simile e che ciò che è simile sia dissimile è per te di conseguenza impossibile anche che siano molte le cose che sono? Se fossero molte infatti accadrebbero loro ciò che è impossibile loro accada. È a questo che mirano i tuoi discorsi? Sono essi intesi, in tutto quanto vi si dice, a nient'altro se non a negare con ogni sforzo la molteplicità delle cose? E credi che ciascuno del tuoi discorsi ti sia in realtà buona prova di questa tua presunzione in modo anche che, quanti discorsi hai sviluppato per iscritto, altrettante testimonianze della non molteplicità delle cose tu pensi di fornire? Dici così? O sono io che non capisco bene? - No, no, disse Zenone, hai afferrato molto bene l'intenzione di tutto il mio scritto. - Allora Socrate disse: Mi rendo conto, Parmenide, che Zenone, qui, non solo vuole per ogni altra cosa restar unito a te in amicizia, ma pure per quanto riguarda l'opera sua. Ha infatti scritto in certo modo le stesse cose che hai scritto tu e, modificando l'argomentazione, vuol beffarci e farci credere di dire cosa diversa2. Tu infatti nei tuoi versi dici che il tutto è uno e ce ne dai prove brillanti ed efficaci; questi a sua volta ne nega la molteplicità e anche lui porta dimostrazioni in gran numero e ampie. E allora per il fatto che uno di voi dice che il tutto è uno e l'altro che non è molteplice e che ciascuno di voi parla in maniera da apparire a noi come se non dicesse nulla di simile all'altro, mentre in sostanza dite le stesse cose, si genera in me l'impressione che le vostre parole siano dette in modo che a noi sfugga l'equivalenza del loro comune significato3. - Sì, Socrate, disse Zenone, tu però così non hai compreso del tutto la natura del mio scritto. E sì che, come fanno le cagne di Laconia, tu vai inseguendo tenacemente e fiutando le parole. Ma prima di tutto ti inganni in questo: per nessuna ragione l'opera mia pretende di essere stata scritta secondo le intenzioni che ora mi attribuisci e in modo da celarle agli uomini, quasi compisse così una grande impresa; ciò di cui tu parli è un fatto accidentale. Il mio lavoro è in realtà un contributo e un aiuto al discorso di Parmenide contro tutti coloro che si industriano di ridicolizzarlo e dicono che se si pone come ipotesi l'affermazione che il tutto è uno ne viene gran numero di conseguenze risibili e in opposizione al discorso stesso che afferma l'unità del tutto. Polemizza dunque il mio scritto con quelli che affermano molteplicità, contrappone ai loro argomenti altrettanti argomenti e altri ne aggiunge per mostrare che l'ipotesi della molteplicità del tutto, che essi sostengono, sarebbe oggetto di riso per molte più ragioni che quella della sua unità, appena uno fosse capace di svolgerla4.

  • Argomenti contro il movimento

I ragionamenti di Zenone intorno al movimento, riportati da Aristotele nella Fisica, sono analoghi a quelli intorno alla molteplicità, cioè si propongono di dimostrare che il movimento non esiste, per convalidare in tal modo la tesi parmenidea dell'immobilità dell'essere. Il primo consiste nel rilevare che un corpo in movimento, per percorrere un certo tratto di spazio, devi prima percorrerne la metà, ma prima ancora la metà della metà, e così via all'infinito, e quindi non si muove mai. Il secondo è una ulteriore formulazione del precedente, detto della dicotomia, cioè della divisione in due. Il terzo consiste nel rilevare come, in ciascuno degli istanti che formano il tempo del suo movimento, la freccia si trovi in un determinato punto e non in un altro, perciò sia ferma. Il quarto infine mostra che il tempo impiegato da una massa in movimento ad incrociarne un'altra che si muove in senso contrario è uguale a quello impiegato dalla stessa massa a superare la metà di massa uguale che sta ferma, dunque nello stesso tempo una massa percorre un certo spazio e la sua metà, il che è assurdo.

Quattro sono i ragionamenti di Zenone intorno al movimento, i quali mettono di cattivo umore quelli che tentano di risolverli.
Il primo intende provare l'inesistenza del movimento per il fatto che l'oggetto spostato deve giungere alla metà prima che al termine finale: ma questo ragionamento noi l'abbiamo demolito nei discorsi precedenti.
Il secondo è il cosiddetto "Achille": questo intende provare che il più lento, correndo, non sarà mai sorpassato dal più veloce: infatti, necessariamente, l'inseguitore dovrebbe giungere prima là donde il fuggitivo è balzato in avanti; sicché necessariamente il più lento conserva una certa precedenza. Questo ragionamento è appunto quello della dicotomia, ma ne differisce per il fatto che non divide in due anche la grandezza successivamente assunta. La conclusione di tale ragionamento è che il più lento non viene raggiunto; ma a questa conclusione si arriva mediante lo stesso procedimento fatto nella dicotomia (infatti la conclusione di entrambi i ragionamenti è che non si può giungere al limite, dal momento che la grandezza è divisa in un certo modo: ma nel secondo ragionamento si aggiunge il fatto che neppure l'eroe che è stato talmente celebrato come il più veloce, riesce a raggiungere nell'inseguimento la cosa più lenta); sicché necessariamente anche la soluzione sarà la medesima. Ma, in realtà, è falso ritenere che ciò che precede non venga raggiunto: infatti, solo fin quando precede, non viene raggiunto; ma tuttavia esso viene raggiunto, purché si ammetta che venga percorsa una distanza finita.
Questi sono, intanto, i primi due ragionamenti: il terzo è quello poc'anzi citato, che, cioè, la freccia, nell'atto in cui è spostata, sta ferma. Ma questa conclusione si ottiene solo se si considera il tempo come composto da istanti; se questo non si ammette, non ci sarà sillogismo5.
Il quarto è quello delle masse uguali che si muovono nello stadio in senso contrario a quello di altre masse uguali, le une dalla fine dello stadio, le altre dal mezzo, con uguale velocità. E con questo ragionamento egli crede nel risultato che la metà del tempo sia uguale al doppio. Il paralogismo sta nel supporre che una uguale grandezza venga spostata con uguale velocità in un tempo uguale sia lungo ciò che è mosso sia lungo ciò che è in quiete. Ma questo è falso6.

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