Zenone Risposte Domanda 3

Risposta

Aristotele affronta un argomento molto importante:la continuità delle grandezze geometriche, insieme alla loro infinita divisibilità.
Egli fa una distinzione tra infinito in potenza (cioè quello che potrebbe essere, ma non è) e infinito in atto (cioè quello che è), escludendo il caso in cui una grandezza può essere contemporaneamente infinita in atto e in potenza. Egli mette a confronto lo spazio suddiviso con quello non suddiviso, il moto continuo con quello discontinuo, la realtà con il pensiero. Possiamo quindi affermare che per Aristotele l'infinito non è né reale, né pensabile:tutto ciò che esiste è finito e l'infinito non è un'esistenza concreta.

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Di nuovo, la confutazione di Aristotele rimanda, anche soltanto ad una prima lettura, a concetti che ormai sono consolidati e ben definiti. Il messaggio -legato al cardine della filosofia di Aristotele, cioè la differenza tra potenza e atto-, sembra essere il seguente: la suddivisione di un moto in istanti infinitesimi è un esperimento mentalmente e "logicamente" possibile (e sul quale appunto si basa il calcolo integrale moderno), ma non un'eventualità naturalmente possibile. Le suddivisioni, come appunto scrive il filosofo, sono potenzialmente infinite, ma non possono esserlo attualmente. A titolo di esempio, prendiamo il caso della funzione 1/x che tende a 0 quando x tende all'infinito: la definizione di limite ci dice che la quantità 1/x può essere resa arbitrariamente piccola a patto di scegliere un x abbastanza grande, ma non per questo esiste un x tale che 1/x=0. Di nuovo, l'interpretazione rischia di essere esagerata o assurdamente lontana dalle reali intenzioni dell'autore, ma leggendo le parole di Aristotele ho trovato che questo esempio potesse spiegare in termini "moderni" la confutazione che il filosofo offre al paradosso di Zenone.

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Risposta

Questo passo da lei riportato è una confutazione in base alla quale è impossibile attraversare in un tempo finito uno spazio infinito. Il concetto di tempo per Aristotele può essere finito in atto ma infinitamente indivisibile.
La distinzione tra divisibilità in potenza e la divisione in atto consente di rendere compatibili movimento e divisibilità.
Secondo Aristotele, l'infinito attuale va inteso come un'infinità compiuta, che si presenta nella sua totalità in un momento ben determinato, mentre  l'infinito potenziale è un'infinità distribuita nel tempo, simile a un processo che non ha mai fine. Ebbene, il primo tipo di infinito non esiste né come cosa in sé (ossia come sostanza), né come proprietà o attributo di una realtà. Secondo Aristotele, l'infinito in atto, che non esiste sul piano fisico, non può neppure essere presente nel nostro pensiero sotto forma di infinito mentale, perché noi possiamo pensare solo qualcosa di definito, dotato di forma, ossia qualcosa di determinato.
Esclusa l'esistenza dell'infinito in atto, Aristotele non intende comunque negare tutto in modo assoluto; a suo avviso, esistono manifestazioni evidenti dell'infinito, quali l'illimitato scorrere del tempo, la successione dei numeri e la continuità delle grandezze, cioè la loro divisibilità senza fine. In questi casi, però, l'infinito esiste solo in potenza, cioè come processo mai completato.

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n questa confutazione Aristotele discute la differenza di interpretazione del problema confrontando il punto di vista geometrico con quello fisico. Egli mette in evidenza il fatto che il tempo è necessario per compiere un movimento e lo relaziona ad un segmento suddivisibile e scindibile in intervalli distinti uno dall’altro per indicare il parallelismo tra spazio e tempo. Applica poi un’attenta analisi di comparazione tra il segmento indiviso e quelli suddivisi ponendo attenzione sul fatto che l’intervallo suddiviso non è da considerare suddiviso solo geometricamente ma anche fisicamente rispetto a quello indiviso, e dunque per poter proseguire il suo moto un oggetto deve distinguere la fine di ogni intervallo suddiviso conducendo un moto discontinuo. È interessante osservare come nella risposta di Aristotele egli approssimi nel migliore dei modi il modello reale facendo notare come nella realtà emerga l’impossibilità di suddividere un moto infinite volte come sostiene Zenone. Aristotele quindi afferma che da un punto di vista fisico del moto è possibile percorrere una serie infinita di intervalli suddivisi, mentre da un punto di vista geometrico non è possibile. Quindi l’ipotesi di Zenone è reale ma è impossibile in presenza di un movimento continuo.

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Dalla confutazione data si evince l’idea che Aristotele ha dell’infinito che diverge da quella di Zenone.
Con l’esempio della suddivisione di un segmento in due parti,uno indiviso e l’altro divisibile con il procedimento di dimezzamento enunciato da Zenone (distinzione tralasciata da Zenone), confuta la tesi di quest’ultimo.
Per Aristotele vi è una relazione forte tra spazio e tempo in quanto il tempo è indispensabile per compiere movimento, quindi oltre allo spazio immagina anche il tempo come un segmento. Il segmento indiviso si differenzia dal segmento suddiviso perché il secondo è l’espressione di infinito in potenza. Con questo concetto Aristotele indica che in maniera potenziale possiamo suddividere un segmento in infiniti punti che non impediscono di compiere un moto in tempo e spazio stabiliti al contrario di quanto avviene attualmente. Ciò che Zenone afferma rende il moto impossibile poiché fermo nell’infinità di segmenti ottenuti con una divisone infinita, prendendo in considerazione solo l’atto in sé e non in prospettiva futura: “Zenone identifica una impossibilità reale, che però non è quella di un movimento”

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Nella filosofia di Aristotele emerge il concetto di infinito come un qualcosa che non né reale né pensabile: esiste in potenza ma non in atto.
Il filosofo confuta il paradosso della dicotomia affermando che il movimento analizzato da Zenone, e che egli crede impossibile, è un movimento discontinuo perché avviene lungo un segmento infinitamente suddiviso che esiste solo in potenza e lungo il quale il corpo deve arrestarsi nei punti di suddivisione. Ciò che Zenone non considera è il movimento continuo che può avvenire lungo un segmento non suddiviso, che invece esiste in atto e che quindi si verifica nella realtà.

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La distinzione di Aristotele tra un’infinità potenziale e un’infinità attuale sembra un tentativo di chiarare il problema generale dei paradossi: l’infinità. L’infinità è un costrutto non comprensibile, non afferrabile e difficile da spiegare. Aristotele provava a fare un primo passo di avvicinamento a questo costrutto. Fino ad oggi sono state stabilite alcune proprietà, regole per il calcolo e conoscenze. Però l’infinità è ancora un ostacolo nella matematica e forse rimarrà sempre una sfida da superare.

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Risposta

Questa confutazione mostra, che il significato dell'infinito e' molto difficile da
capire. Aristotele dice, che e' possibile percorrere una serie potenzialmente
infinita di suddivisioni di un intervallo, ma invece non è possibile percorrere una
serie attualmente infinita di suddivisioni.

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In questa confutazione, Aristotele fa una distinzione importante. Per lui non è lo stesso un
segmento che si divide da un segmento intero senza divisione, dal qual è derivato e come
conseguenza di questa distinzione considera due tipi di movimento, uno continuo e un altro che
non lo è. Aristotele ci dice che per attraversare il segmento diviso si deve fare qualcosa, per
esempio fermarsi, attraversare i punti scelti come bordi da ogni parte della divisione, ed è il
motivo per cui viene generato un movimento discontinuo. Aristotele poi, concorda con l'impossibilità nel movimento ma solo nel movimento discontinuo. Per lui questa impossibilità
non è valida per il movimento continuo.

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Nel libro III della Fisica Aristotele fa una distinzione tra infinito in atto e infinito in potenza, intendendo per infinito in atto l'infinito che è e, per infinito in potenza, quello che potrebbe essere ma non è (escludendo poi che una grandezza possa essere contemporaneamente infinita in atto e in potenza).
Aristotele afferma che dimezzando la distanza che deve essere coperta dall'oggetto in movimento si ha un'interruzione del movimento.
Secondo Aristotele, nella realtà esiste solo il finito, mentre l'infinito è semplicemente la possibilità mentale di aumentare indefinitamente o diminuire indefinitamente una qualsiasi quantità data. Ma se nella realtà esistono solo distanze finite, il movimento raggiungerà la sua meta perchè si compirà in un tempo finito. Infatti è vero che il tratto finito AB può essere indefinitamente scomposto, però tale progressione infinita non può mai superare la quantità finita data AB.
In questo modo il paradosso della dicotomia sarebbe confutato. Bisogna sottolineare comunque che per Aristotele un punto è considrato due volte: una volta alla fin del primo segmento e ancora un'altra volta all'inizio del segmento successivo. Tale affermazione,però, nella topologia moderna è sconcertante poichè questa presuppone che il momento di divisione si trovi su un segmento o sull'altro,non su entrambi.

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Commentare la seguente confutazione del paradosso della dicotomia dovuta anch'essa ad Aristotele: "Si consideri una suddivisione di un segmento in due parti. Da un lato, c'è un segmento indiviso, dall'altro un segmento con un punto scelto come bordo delle due parti. Aristotele dice che il segmento intero e il segmento suddiviso sono due cose distinte e che la seconda è derivabile dalla prima solo "in potenza". Aristotele assume che il tempo sia assimilabile a un segmento geometrico e considera il tempo necessario a completare il movimento. Dobbiamo distinguere i due casi. L'intervallo temporale indiviso, dall'istante iniziale a quello finale, e l'intervallo suddiviso nei successivi dimezzamenti di Zenone. Secondo Aristotele l'intervallo suddiviso, oltre che geometricamente è anche fisicamente distinto dall'intervallo non suddiviso, nel senso nel senso che alla fine di ogni intervallo suddiviso il l'oggetto in moto deve fare qualcosa per distinguere l'intervallo suddiviso dall'intervallo non suddiviso: deve fermarsi, rendendo il moto discontinuo. La risposta di Aristotele è che durante un moto è possibile percorrere una serie potenzialmente infinita di suddivisioni di un intervallo, ma non è possibile percorrere una serie attualmente infinita di suddivisioni. In altre parole, Zenone identifica una impossibilità reale, che però non è quella di un movimento continuo.

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Aristotele sposta l'attenzione sulla differenza tra spazio suddiviso e spazio non suddiviso, quindi tra moto continuo e moto non continuo, ma soprattutto tra piano reale, "attuale" e piano del pensiero, "potenziale".
Secondo lui percorrere una regione di spazio non comporta l'attraversamento di un'infinità attuale di suddivisioni, bensì di un'infinità potenziale di suddivisioni, che non crea alcun ostacolo al movimento.
È interessante come Aristotele concepisca l'idea di infinito solo a livello mentale , escludendola dalla realtà e riconoscendola come il problema del paradosso.

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Aristotele sta sostenendo che il movimento pensato da Zenone sia possibile solo in potenza ma non in atto.
Per argomentare cio' utilizza il fatto che un elemento e una sua parte sono due oggetti distinti e che per passare dall'uno all'altro occorre fare un ''salto'' interrompendo dunque la continuita' del moto, il che non e' possibile nella realta'.
Inoltre sostiene che ogni parte di un segmento di spazio e' in corrispondenza binuivoca con il segmento stesso.

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Nella sua confutazione, Aristotele presenta due tipi di moto che differiscono in base al tipo
di spazio percorso dagli oggetti in movimento. Da una parte, abbiamo un segmento che
noi pensiamo come non suddiviso, ma che è potenzialmente suddivisibile in infinite parti.
Dall’altra, abbiamo lo stesso segmento, ma attualmente suddiviso in infinite parti. Secondo
Aristotele, questi due segmenti sono completamente distinti tra loro, e identificano due
moti diversi. La considerazione che non viene fatta (ma che non è possibile ignorare) è
che, a sua volta, il secondo tipo di segmento può essere pensato in maniera diversa,
ovvero come se fosse indiviso: basta pensare di dividere il primo nelle sue infinite parti,
ottenendo il secondo, e poi ricomporlo, ottenendo nuovamente il primo (è come se
l’operazione fosse “biunivoca”). In realtà, quindi, i due segmenti sono esattamente lo
stesso segmento, pensato solamente in un modo diverso. L’argomento dunque cade, ma
non solo: Aristotele mostra che esistono due tipi di movimento, completamenti diversi tra
loro (uno continuo e uno discontinuo), che possono avvenire lungo uno stesso segmento a
seconda di come pensiamo quest’ultimo. Questa considerazione evidenzia ulteriormente il
contrasto tra pensiero logico e realtà, che Zenone voleva sottolineare tramite i suoi
paradossi.

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Risposta

Secondo Aristotele non si può suddividere una distanza in infiniti tratti con movimenti separati poiché diverrebbe un moto discontinuo ma dobbiamo pensare lo spostamento come la sequenza ininterrotta di infiniti passi consecutivi l'uno all'altro. Fisicamente è lo sviluppo dell'idea precedente (se suddividiamo lo spazio dobbiamo suddividere anche il tempo), ovvero lo spostamento non va studiato totalmente deframmentando solo la distanza percorsa/da percorrere in infiniti punti, ma va studiato nella sua complessità suddividendolo in infiniti passi spazio-temporali consecutivi che uniti danno in moto totale.
Un pó come la creazione dei cartoni animati.  Si fanno "infiniti" disegni (potenzialmente infiniti) che mostrano le "infinite" pose in cui i corpi si vengono a trovare nei vari istanti di l tempo; però, poi, andandoli ad unire consequenzialmente danno come risultato il moto totale, ovvero il cartone animato!

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